teorema fundamental del algebra

Análisis del teorema fundamental del álgebra.

Teorema fundamental del álgebra. Un polinomio de grado n impar admite al menos una raíz real. Si existe una raíz compleja  de un polinomio, entonces existe su raíz compleja conjugada .

Este teorema resulta de suma importancia dentro del estudio de las ecuaciones. Encontrar la solución de una ecuación representa encontrar todos los valores de x para los cuales la ecuación  es cierta, a las que comúnmente le llamamos raíces de la ecuación, generalmente las soluciones que de manera inmediata nos interesan son los valores que existan en los reales, sin que con ello las soluciones complejas no sean interesantes.

La obtención de soluciones de una ecuación tiene un sentido gráfico que nos es de particular interés. En el caso particular en que las soluciones sean reales estas representan los puntos de intersección con el eje x.

Ejemplo:

 

Encuentre la solución de la siguiente ecuación .

 

Comentamos que encontrar la solución de una ecuación es encontrar los valores de x reales para los cuales ,  es decir, en este caso si hacemos y(x)=0 tendremos

Vemos que este es el único valor para el cual , es decir, solo existe una raíz, algo que era un resultado que podíamos afirmar del teorema fundamental del álgebra, si el polinomio es de grado impar por lo menos tenemos una raíz real, en este caso como el polinomio es de primer grado era lógico suponer que no existía mas de una sola solución o raíz. Su aspecto gráfico es el siguiente, el punto de intersección con el eje x es   cuando y=0. La gráfica de la ecuación es una línea recta de pendiente 2 ya que recordando la ecuación de la línea recta de la forma  con m la pendiente.  La ordenada al origen es b=1 es decir con ello tenemos la otra coordenada que se requiere para representar una línea recta, .

 

 

Abordemos ahora las ecuaciones de segundo grado, las posibilidades que tenemos para dichas ecuaciones son las siguientes: a).- raíces iguales y en forma gráfica solo tocara al eje x una sola vez, por supuesto que las raíces son reales,  b).- raíces diferentes y reales, el gráfico de dicha ecuación interfecta en dos puntos al eje x,  c).- las raíces son complejas y el gráfico jamás cruzara al eje de las x

De hecho podemos generalizar el ejemplo presentado y asegurar que la ecuación del tipo , con a positivo,  representa una familia de parábolas, cuya intersección con el eje x se da una sola vez. Si se toma el signo positivo se tiene una familia de parábolas con intersección con el eje x negativo, por el contrario, si tomamos el signo negativo tendremos la intersección con el eje x positivo.

 

Analizando el inciso b), raíces diferentes y reales, el gráfico de dicha ecuación interfecta en dos puntos al eje x , ejemplo de dicha ecuación tenemos, las expresiones cuadráticas que se pueden acomodar de la forma  es decir admite una factorización, generalizando podremos observar que un aspecto importante de la factorización para polinomios radica en la obtención de raíces, esto como consecuencia del teorema fundamental del álgebra

 

Un ejemplo de esta expresión es el siguiente binomio, , el cual tiene raíces , es decir, se factoriza de la siguiente forma . El gráfico de dicha ecuación es dada como:

 

Otro ejemplo lo tendríamos, con la siguiente ecuación:  cuyas raíces son , en consecuencia podemos expresar la ecuación de la forma

 

 

 

el último caso es cuando la ecuación no se puede descomponer en factores, no se tienen raíces en los reales y por lo tanto no cruza el gráfico al eje x.

 

 

por ejemplo la expresión siguiente es una ecuación que no tiene raíces en el campo de las x, , podemos extender este caso y garantizar que todas las ecuaciones de la forma , con a positivo, no tienen raíces reales ni intersectan al eje de las x. En particular el gráfico para la ecuación  es dado como: