domingo, 14 de abril de 2013

Función escalón

Función escalón
En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.
1 Felipe necesita ANILLAR un informe para llevar a su Liceo. YOBILO
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ANILLADOS
1 – 50
$ 420
51 - 100
$ 800
101 - 150
$ 920
151 - 200
$ 1300

                                                                                   





Construye  el grafico según los datos de la tabla, y responde:

1 ¿Cuánto deberá pagar por el anillado de un informe que tiene 27 páginas?

2.- ¿Cuánto deberá pagar por el anillado de un informe que tiene 80 páginas?

3.- ¿Cuánto dinero pagará en total por los dos  anillados?

4.- Si anillara los dos informes juntos, ¿Cuánto pagaría?

5.- ¿Qué le conviene más y por que?

6 .- ¿Qué puedes decir del gráfico ?


   Definición [Función de Heaviside]
La función escalón unitario o función de Heaviside1.2 $ H: [0, + \infty[ \rightarrow$   $ \mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$$ $ se define como
\begin{displaymath} H(t-a) = \begin{cases} 0 & \text{Si $0 \leq t < a$} \\ 1 & \text{Si $t \geq a$} \\ \end{cases} \end{displaymath}
Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo $ [0,+ \infty[$, pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general $ H(t-a)=0$ para $ t < a$.   

Ejemplo
Trazar la gráfica de la función $ f(t)=H(t-1)$.
Solución
La función $ f(t)$ está dada por

\begin{displaymath} f(t) = \begin{cases} 0 & \text{Si $0 \leq t < 1$\ } \\ 1 & \text{Si $t \geq 1$} \\ \end{cases} \end{displaymath}
y su gráfica se muestra en la figura 1.5
Figura 1.5

Cuando la función de Heaviside $ H(t-a)$ se multilplica por una función $ f(t)$, definida para $ t \geq 0$, ésta función se desactiva en el intervalo $ [0,a]$, como muestra en siguiente ejemplo.
Ejemplo
Trazar la gráfica de la función $ f(t) = Sen(t) H(t-2 \pi)$.
Solución
La función está dada por

\begin{displaymath} f(t) = \begin{cases} 0 & \text{Si $0 \leq t < 2 \pi$} \\ Sen(t) & \text{Si $t \geq 2 \pi$} \\ \end{cases} \end{displaymath}

Figura 1.6
La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo
Use la función de Heaviside para reescribir la función

\begin{displaymath} f(t)= \begin{cases} g(t) & \text{Si $0 \leq < a$\ } \\ h(t) & \text{Si $t \geq a$} \\ \end{cases} \end{displaymath}
Solución
Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside


$\displaystyle f(t)$ $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\begin{cases} g(t) - g(t) \cdot 0 + h(t) \cdot 0 & \text{Si $... ...) \cdot 1 + h(t) \cdot 1 & \text{Si $t \geq a$} \\ \end{cases}\end{displaymath}
$\displaystyle =$ $\displaystyle g(t) - g(t)H(t-a) + h(t)H(t-a)$

Observación: la función
\begin{displaymath} f(t) = \begin{cases} p(t) & \text{Si $0 \leq t < a$\ } \\... ...q t < b$\ } \\ r(t) & \text{Si $t \geq b$} \\ \end{cases} \end{displaymath}
se escribe usando la función de Heaviside como
$\displaystyle f(t) = p(t) + \left( q(t) - p(t) \right) H(t-a) + \left( r(t) - q(t) \right) H(t-b) $
   Teorema [Transformada de la función Heaviside]
La transformada de la función de Heaviside es
$\displaystyle {\cal L} \{ H(t-a) \} = \frac{e^{-sa}}{s} $
Demostración
Usando la definición de transformada


$\displaystyle {\cal L} \{ H(t-a) \}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st} H(t-a) dt$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \underbrace{\int_0^{a} e^{-st} \cdot 0 dt}_{0} + \int_a^{\infty} e^{-st} dt$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \int_a^{\infty} e^{-st} dt$
$\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{e^{-st}}{s} \biggr\vert _a^{\infty}$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{-as}}{s}$
En el primer teorema de traslación nos permitío calcular la transformada de una función $ f(t)$ al ser multiplicada por una función exponencial $ e^{kt}$, el segundo teorema de traslación nos permitirá calcular la trasformada de una función $ f(t)$ que es multiplicada por una función escalón.

   Teorema [Segundo teorema de traslación]
Si $ {\cal L} \{f(t) \} =F(s)$ y $ a > 0$, entonces
$\displaystyle {\cal L} \{ f(t-a) H(t-a) \} = e^{-as}F(s) $
Forma inversa del segundo teorema de traslación:

$\displaystyle f(t-a) H(t-a) = {\cal L}^{-1} \{e^{-as} F(s) \} $
Demostración
Usando la definición


$\displaystyle {\cal L} \{f(t-a) \}H(t-a)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-st} f(t-a0 H(t-a) dt dt$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^a e^{-st} f(t-a) \cdot 0 dt + \int_a^{\infty} e^{-st} f(t-a) dt$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \int_a^{\infty} e^{-st} f(\underbrace{t-a}_{u=t-a}) dt$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-s(u+a)} f(u) du$
$\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-sa} \int_0^{\infty} e^{-su} f(u) du$
$\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-sa} {\cal L} \{ f(t) \}$
$\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-sa} F(s)$
Observación: podemos usar el segundo teorema de traslación para calcular la transformada de Laplace de la función $ H(t-a)$ haciendo $ f(t)=1$:

$\displaystyle {\cal L} \left\{ H(t-a) \right\} = {\cal L} \left\{ 1 \cdot H(t-a) \right\} = e^{-as} {\cal L} \left\{ 1 \right\} = \frac{e^{-as}}{s} $

Ejemplo
Calcule

$\displaystyle {\cal L} \{ t H(t-2) \} $
Solución
Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar $ t$ a $ t-2$

$\displaystyle {\cal L} \{ t H(t-a) \}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal L} \{ (t-2 +2) H(t-2) \}$
$\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal L} \{ (t-2) H(t-2) \} + 2 {\cal L} \{ H(t-2) \}$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{e^{-2s}}{s^2} + \frac{2e^{-2s}}{s}$
Ejemplo
 Calcular $ {\cal L} \{ f(t) \} $, donde

\begin{displaymath} f(t) = \begin{cases} -t + 1 & \text{Si $0 \leq t < 1$} \\... ...\leq t < 2$\ } \\ t - 2 & \text{Si $t \geq 2$} \end{cases} \end{displaymath}
Solución:
Observe que la función $ f(t)$ puede reescribirse como

$\displaystyle f(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - t +t H(t-1) + \left( t - 3 \right) H(t-2)$
$\displaystyle f(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - t + \left( t-1 \right) H(t-1) + \left( t-2 \right) H(t-2)$
con lo cual


$\displaystyle {\cal L} \{ f(t) \}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal L} \{ 1 \} + {\cal L} \left\{ \left(t - 1 \right)H(t-1) \right\} + {\cal L} \left\{ \left( t - 2 \right) H(t-2) \right\}$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{s} + \frac{e^{-s}}{s^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2}$
Ejemplo
Calcule

$\displaystyle {\cal L} \{ t^2 H(t-2) \} $
Solución
Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar de forma adecuada el término $ t^2$

$\displaystyle {\cal L} \{ t^2 H(t-2) \} $ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal L} \left\{ \left( \left(t - 2 \right)^2 + 4t - 4 \right) H(t-2) \right\}$
$\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal L} \left\{ \left(t - 2 \right)^2 H(t-2) \right\} + 4 {\cal L} \left\{ \left( t - 1 \right) H(t-2) \right\}$
$\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal L} \left\{ \left(t - 2 \right)^2 H(t-2) \right\} + 4 {\cal L} \left\{ \left( t - 2 \right) H(t-2) \right\} + 4 {\cal L} \{ H(t-2) \}$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2e^{-2s}}{s^3} + \frac{4e^{-2s}}{s^2} + \frac{4e^{-2s}}{s}$
$\displaystyle =$ $\displaystyle 2e^{-2s} \left( \frac{1}{s^3} + \frac{2}{s^2} + \frac{2}{s} \right)$
Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces es necesario sumar y restar algunos términos con la idea de poder usar el segundo teorema de traslación. Pero existe una forma alternativa que nos evita el tener que hacer esto.
 
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