Función polinomial de grado 2

La parábola "básica", y = x², se ve así:

La función del coeficiente a en la ecuación general es hacer la parábola "más amplia" o "más estrecha", o girarla hacia abajo (si es negativa):

Si el coeficiente de x² es positivo, la parábola abre hacia arriba; de otra forma abre hacia abajo.

El vértice

El vértice de una parábola es el punto en la parte baja de la forma "U" (o la parte superior, si la parábola abre hacia abajo).
La ecuación para una parábola también puede ser escrita de la "forma vértice":
y = a(x – h)² + k
En esta ecuación, el vértice de la parábola es el punto (h, k).

Puede ver como se relaciona esto a la ecuación estándar al multiplicarla:
y = a(x – h)(x – h) + k
y = ax² – 2ahx + ah² + k
El coeficiente de x aquí es –2ah. Esto significa que en la forma estándar, y = ax² + bx + c, la expresión

da la coordenada en x del vértice.

Ejemplo:

Encuentre el vértice de la parábola.
y = 3x² + 12x – 12

Aquí, a = 3 y b = 12. Así, la coordenada en x del vértice es:

Sustituyendo en la ecuación original para obtener la coordenada en y, obtenemos:
y = 3(–2)² + 12(–2) – 12
= –24
Así, el vértice de la parábola está en (–2, –24).

El eje de simetría

El eje de simetría de una parábola es la recta vertical a través del vértice. Para una parábola en la forma estándar, y = ax² + bx + c, el eje de simetría tiene la ecuación

Dese cuenta que –b/2a también es la coordenada en x del vértice de la parábola.

Ejemplo:

Encuentre el eje de simetría.
y = 2x² + x – 1

Aquí, a = 2 y b = 1. Así, el eje de simetría es la recta vertical

Intercepciones

Puede encontrar la intercepción en y de una parábola simplemente introduciendo 0 para x. Si la ecuación está en la forma estándar, entonces solo tome a c como la intercepción en y. Por ejemplo, en la ecuación anterior:
y = 2(0)² + (0) – 1 = –1
Así la intercepción en y es –1.
Las intercepciones en x son un poco más complicadas. Puede usar la factorización, o completar el cuadrado, o la fórmula cuadrática para encontrarlas (si estás existen!).

Dominio y rango

Como con cualquier función, el dominio de una función cuadrática f(x) es el conjunto de valores de x para los que la función está definida, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida (valores de f).
Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta de enteros reales como su dominio: cualquier x es una entrada válida. El rango está restringido a aquellos puntos mayores que o iguales a la coordenada de y del vértice (o menor que o igual a, dependiendo si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo).