teorema del factor y del residuo

Para hacer comprobaciones sobre lo que se verá en éste tema se puede usar nuestra calculadora de división sintética. Si dividimos el polinomio 2x³ - 4x² - 3x + 2 entre el polinomio x - 3

encontramos que el cociente es 2x² + 2x + 3 y que el residuo es 11. Por otra parte, si evaluamos numéricamente la función polinomial ƒ(x) correspondiente al polinomio 2x³ - 4x² - 3x + 2 para el valor de x = 3, se obtiene

ƒ(x) = 2x³ - 4x² - 3x + 2
ƒ(3) = 2(3)³ - 4(3)² - 3(3) + 2
ƒ(3) = 2(27) - 4(9) - 9 + 2
ƒ(3) = 54 - 36 - 9 + 2
ƒ(3) = 11

No es ninguna casualidad que el residuo de la división anterior entre x - 3 y la evaluación numérica para ƒ(3) ambas den como resultado respectivamente residuo y valor numérico de 11. La explicación de esta coincidencia se encuentra en el Teorema del residuo.

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Teorema del residuo

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a).

El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética.

A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio.

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Teorema del factor

Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real.

Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

ceros y raices de una función

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax² + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax² es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

Parábola del puente, una función cuadrática.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax²):
Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x² − 3x − 5

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x² + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).

Veamos:

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:

Donde  x₁  y  x₂  son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante)

graficar funciones cúbicas

División sintetica

División sintética

La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio de grado , por un polinomio de la forma , con , a partir de los coeficiente de y el cero de .

El procedimiento que usaremos para realizar la división sintética de un polinomio , por un polinomio de la forma , lo ilustraremos a través de ejemplos.
Ejemplo:

Sean y polinomios tales que:



Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir por :

a) Usando el método estudiado anteriormente (División larga)

b) Usando división sintética


Solución:

a)

Por lo que al dividir por se obtiene como cociente y 122 como residuo.

b) Usando división sintética, se divide por de la siguiente manera:

Donde los números 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente y 122 el residuo de la división.
Observe que, según la parte (a) de este ejercicio, los números obtenidos en la tercera fila son los coeficientes del cociente y el residuo, como se muestra en el esquema anterior.
Los números representados en la primera fila son los coeficientes de (dividendo) y el cero de (divisor).

Los números representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma:
12 es el producto de 4 y 3
45 es el producto de 15 y 3
120 es el producto de 40 y 3
Los números representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma:
4 es el coeficiente de en
15 es la suma de 3 y 12
40 es la suma de -5 y 45
122 es la suma de 2 y 120
Ejemplo:
Sean y polinomios tales que: .
Usando división sintética, determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir por .

Solución:

Ordenando en forma desendiente de acuerdo a su grado, se obtiene:
, y realizando la división se tiene:

Los números 1, 0, 0 y 2 son coeficientes del cociente. Y el número 0 es el residuo.

Por lo que o sea y
Nota: Observe que al realizar la división sintética, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, debem escribirse.
Ejemplo:
Sean y polinomios tales que: y
Usando división sintética determine el cociente y .
Solución:
Como y el cero es -4 tenemos que:

Por lo tanto el cociente que se obtiene, al dividir por es y el residuo es -68.
Ejercicio:

Para cada par de polinomios y que se definen acontinuación determine por división sintética el cociente y el residuo que se obtiene al dividir por .

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Ejemplo:
Sea un polinomio tal que: ; usando división sintética determine y 

Solución:

Recuerde que es igual al residuo que se obtiene al dividir por .
Efectuando las divisiones correspondientes se tiene:

Ejercicio:

Sea un polinomio tal que

Usando división sintética determine